Número de horas de sol, em função do dia do ano, dependendo da localização geográfica

A duração do dia \( d \) (em horas), em função do número do dia do ano, \( n \), é dada pelo modelo \[ \Large d(n) = 12,19 + B \: \cos \left( \frac{2\pi}{365} (n-172) \right) \]

A partir da função \( f(x) =\cos \: x \), consideramos um deslocamento horizontal (\( \phi \)), um deslocamento vertical (\( A \)) e dilações ao longo de ambos os eixos (\( \omega \) ao longo do eixo horizontal e \( B \) ao longo do eixo vertical): \[ \large f(x) = A + B \cos \: (\omega x - \phi) \]

  • \( f(x) = A + \cos \: x \) : O deslocamento vertical, \( A \), corresponde ao número médio de horas de sol - que é igual em todas as localizações - aproximadamente \( 12 \) horas.

  • \( f(x) = 12,19 + \cos \: (x - \phi) \) : O deslocamento horizontal, \( \phi \), correponde ao deslocamento do máximo (ou mínimo) do objeto \( 0 \) para o objeto \( 172 \), a que corresponde o dia 21 de Junho, quando ocorre o solstício de verão, que é o dia mais longo do ano no hemisfério norte (e o mais curto no hemisfério sul).

  • \( f(x) = 12,19 + \cos \: \left( \omega (x - 172) \right) \): A dilação ao longo do eixo horizontal, \( \omega \), permite alterar o período da função de \( 2 \pi \) para \( 365 \). Quando o valor de \( \omega \) é \( 1 \) o período é de \( 2\pi \), logo a um valor de \( \large \frac{2\pi}{365} \) corresponderá um período de \( 365 \).

  • \( f(x) = 12,19 + B \cos \: \left( \large \frac{2\pi}{365} \normalsize (x - 172) \right) \): A dilação ao longo do eixo vertical, \( B \), permite alterar a amplitude da variação - no caso tem um valor aproximado de \( 0 \) quando a localização é próxima do equador e um valor aproximado de \( 12 \) (ou \( -12 \))quando a localização é próxima dos polos. O facto deste parâmetro tomar valores negativos quando a localização está no hemisfério sul, inverte a monotonia da função, fazendo com que o modelo revele um descrescimento do número de horas de sol nos primeiros meses e um crescimento nos meses do fim do ano.

  • A animação apresentada foi construída com o programa GeoGebra.

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