Trissecção de um segmento de recta

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E generalizações para a divisão de um segmento de recta em n partes iguais

Trissecção de um segmento de recta

Para poder vizualizar a animação necessita de instalar o "plu-in" Java (ou uma versão mais actualizada do mesmo). Use o botão da coluna ao lado para fazê-lo.

Arraste os pontos A e B e verifique que o segmento de recta [AB] é sempre trissectado pela recta CT. Pode ainda alterar o ponto C e verificar que a trissecção não depende da recta AC nem do raio das circunferências. Consegue explicar porquê?

Este procedimento é generalizável à divisão de um segmento de recta em n partes iguais (bastando para tal traçar n-1 circunferências sobre a recta A, para obter n comprimentos iguais).

Trissecção de um segmento de recta só com régua (dada uma paralela)

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Começa-se por bissectar um qualquer segmento de recta sobre a paralela dada (a vermelho) - ver bissecção. Bissecta-se novamente uma metade encontrada para ter um segmento dividido na proporção 1:3 (a verde). As rectas que contêm os extremos do segmento dado e os do construído intersectam-se no ponto P e a recta traçada por P e pelo ponto que trissecta o segmento construído sob a recta dada, trissecta o segmento dado (a violeta). Consegue prová-lo?

Altere a posição dos pontos A e B e verifique que o segmento de recta [AB] é sempre trissectado pela recta construída. Pode ainda alterar a localização dos pontos C e D ou da recta paralela dada, ou ainda o segmento de recta construído sobre esta e verificar que a trissecção do segmento de recta não depende destas. Consegue generalizar este procedimento a divisões em n partes iguais?

Trissecção de um segmento de recta só com compasso

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Começa-se por determinar um ponto B'' sobre a recta AB tal que a distância |AB| seja um terço da distância |AB''| (a verde). A circunferência de centro em B'' e raio |B''A| intersecta a circunferência de centro em A e raio |AB| em dois pontos (a vermelho). As circunferências de centros nestes dois pontos e que contêm o ponto A intersectam-se também no ponto T, trissectando-o (a violeta).

Altere a posição dos pontos A e B e verifique que o segmento de recta [AB] é sempre trissectado pela recta intersecção das duas circunferências. A construção para a divisão do segmento em n partes iguais é semelhante, diferindo apenas na determinação do ponto B'' - a distância |AB''| deve ser n vezes maior que |AB|.

As animações apresentadas foram construídas com o programa GeoGebra. Pode obter os ficheiros usados na coluna da esquerda, ou trabalhar no ambiente do programa fazendo duplo clique sobre a animação.