Perto das impossibilidades há sempre uma possibilidade a explorar...

A impossibilidade em Matemática tem exercido um fascínio sobre os matemáticos e uma curiosidade enorme entre os que se designam como não-matemáticos.

Na Grécia antiga, os matemáticos de então resolveram inúmeros problemas geométricos com raciocínios, cuja sofisticação e elegância ainda hoje impressionam quem os estuda... mas três problemas resistiram aos métodos mais sofisticados dos matemáticos mais capazes – a quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a trisecção do ângulo. E assim continuaram durante vários séculos.

É importante salientar que a impossibilidade decorria (e decorre) da utilização exclusiva de régua e compasso. Atualmente a Álgebra dá-nos a solução destes problemas e prova a impossibilidade de resolver os problemas por métodos geométricos. De resto, os matemáticos Gregos já sabiam encontrar aproximações espantosas com métodos que maravilham os matemáticos de hoje.

Mas se a duplicação (do volume) do cubo continua inacessível às construções geométricas, a duplicação (da área) do quadrado é um problema de resolução interessante e acessível a estudantes do ensino básico, que depende apenas do conhecimento da raiz quadrada de dois. A diagonal de um quadrado mede precisamente o mesmo que o lado do quadrado multiplicado pela raiz quadrada de dois (o que pode ser comprovado pelo teorema de Pitágoras). Assim um quadrado construído sobre a diagonal de outro terá sempre o dobro da área, o que também pode ser comprovado, contando os triângulos que constituem cada um dos quadrados na figura. Ou seja, o quadrado é uma bela calculadora para multiplicar um número por raiz quadrada de dois! 

Da quadratura do círculo, ou seja a construção de um quadrado com a mesma área de um círculo dado, não se esperam grandes desenvolvimentos, mas a quadratura de um retângulo, é um problema acessível cuja resolução pode ser entendida como determinar a raiz quadrada da área do retângulo. A ilustração seguinte mostra o procedimento geométrico, construindo a partir do retângulo, primeiro a circunferência pequena, depois a grande e finalmente o quadrado com a mesma área do retângulo... ou seja, saltando os detalhes formais da justificação, a circunferência revela-se uma ótima calculadora para encontrar a raiz quadrada de um número.

Sendo a trisecção de um ângulo uma impossibilidade demonstrada, existem outras trisecções que continuam a deslumbrar os estudiosos da geometria, por exemplo a trisseção de um segmento de reta. Neste caso construímos um outro segmento dividido em três partes iguais – traçando sucessivamente três circunferências sobre uma semirreta com origem num dos extremos do segmento dado. Depois comparamos esse novo segmento com o que queríamos dividir em três, e tomamos a mesma proporção no segmento construído e no dado, ou seja, no traçado de paralelas, encontrámos uma admirável calculadora para fazer divisões.

O estudo de impossibilidades reveste-se de um fascínio fácil de compreender... mas a compreensão das possibilidades pode ser ainda mais fascinante...

Quando se usa a Matemática, as possibilidades são infinitas... e espetaculares!

primeira versão deste texto foi originalmente publicada na rubrica Valor Absoluto do Clube de Matemática da SPM, em 11 de novembro de 2012.